حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 + \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 + \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 1.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

خطوة 1.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

خطوة 1.3.5.2

أضف $6$ و $1$ .

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $3$ و $1$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $4$ وفي $\frac{7}{2}$ .

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

خطوة 5.2

$\frac{7}{2}$ تساوي تقريبًا $3.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

خطوة 5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

خطوة 5.4

اضرب $4 (\frac{2}{7})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $4$ و $\frac{2}{7}$ .

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

خطوة 5.4.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\ln (\frac{8}{7})$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (\frac{8}{7})$

الصيغة العشرية:

$0.13353139 \dots$