حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sin^{2} (x) + 1$

خطوة 1

اكتب $2 \sin^{2} (x) + 1$ في صورة دالة.

$f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (x) + 1 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 \sin^{2} (x) d x + \int d x$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sin^{2} (x) d x + \int d x$

خطوة 6

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x) + \int d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 8.3

اضرب $\int 1 - \cos (2 x) d x$ في $1$ .

$\int 1 - \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \cos (2 x) d x + \int d x$

خطوة 12

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 12.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int d x$

خطوة 13

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u + \int d x$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int d x$

خطوة 15

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + \int d x$

خطوة 16

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + x + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أضف $x$ و $x$ .

$C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C) + 2 x + C$

خطوة 17.2

بسّط.

$- \frac{1}{2} \sin (u) + 2 x + C$

خطوة 18

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2 \sin^{2} (x) + 1$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \sin (2 x) + 2 x + C$