حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 \sin (t))}^{2} d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(2 (\sin (t)))}^{2} d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 2^{2} \sin^{2} (t) d t$

خطوة 2.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 4 \sin^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{6}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 10.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 10.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

خطوة 10.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

خطوة 10.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 10.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 10.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 10.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u))$

خطوة 13

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$2 (t]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $t$ في $\frac{π}{6}$ وفي $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 14.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $0$ .

$2 ((\frac{π}{6}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

خطوة 14.2.2

أضف $\frac{π}{6}$ و $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (0)))$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)))$

خطوة 14.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0))$

خطوة 14.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0))$

خطوة 14.3.4

أضف $\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 14.3.5

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

خطوة 14.3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

خطوة 14.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

خطوة 14.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

خطوة 14.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

خطوة 14.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

خطوة 14.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

خطوة 14.4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 (2)}$

خطوة 14.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

خطوة 14.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2}$

خطوة 14.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.18117214 \dots$