حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} \frac{{(1 + \ln (x))}^{3}}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \ln (1)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + \ln (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + \ln (3)$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{1 + \ln (3)} u^{3} d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{1 + \ln (3)}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $1 + \ln (3)$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{4} {(1 + \ln (3))}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و ${(1 + \ln (3))}^{4}$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

خطوة 3.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4}}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{{(1 + \ln (3))}^{4} - 1}{4}$

الصيغة العشرية:

$4.59918613 \dots$