حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{3} - x - 3$

خطوة 1

اكتب $y = 3 x^{3} - x - 3$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{3} - x - 3$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} - x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$9 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 x^{2} - 1 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $9 x^{2} - 1$ و $0$ .

$9 x^{2} - 1$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} = 1$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $9 x^{2} = 1$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $9 x^{2} = 1$ على $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{1}{9}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{9}$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{9}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

خطوة 3.4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

خطوة 3.4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{1}{3}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{1}{3}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد، مثل $- 3$ ، من الفترة $(- \infty, - \frac{1}{3})$ في المشتق الأول $9 x^{2} - 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = 9 {(- 3)}^{2} - 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = 9 \cdot 9 - 1$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $9$ في $9$ .

$f' (- 3) = 81 - 1$

خطوة 5.2.2

اطرح $1$ من $81$ .

$f' (- 3) = 80$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $80$ .

$80$

خطوة 6

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ في المشتق الأول $9 x^{2} - 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 9 {(0)}^{2} - 1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 9 \cdot 0 - 1$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $9$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 1$

خطوة 6.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$f' (0) = - 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 7

عوّض بأي عدد، مثل $3$ ، من الفترة $(\frac{1}{3}, \infty)$ في المشتق الأول $9 x^{2} - 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 9 {(3)}^{2} - 1$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f' (3) = 9 \cdot 9 - 1$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $9$ في $9$ .

$f' (3) = 81 - 1$

خطوة 7.2.2

اطرح $1$ من $81$ .

$f' (3) = 80$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $80$ .

$80$

خطوة 8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = - \frac{1}{3}$ ، إذن توجد نقطة تحوّل عند $x = - \frac{1}{3}$ .

خطوة 9

أوجِد الإحداثي الصادي لـ $- \frac{1}{3}$ لإيجاد نقطة التحوّل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد $f (- \frac{1}{3})$ لإيجاد الإحداثي الصادي لـ $- \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2

بسّط $3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

احذِف الأقواس.

$3 {(- \frac{1}{3})}^{3} - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$3 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$3 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 (- \frac{1}{3^{3}}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$3 (- \frac{1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{27}$ إلى بسط الكسر.

$3 (\frac{- 1}{27}) - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.5.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$3 \frac{- 1}{3 (9)} - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{- 1}{3 \cdot 9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{9} - (- \frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.7

اضرب $- (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{9} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 9.1.2.2.7.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 3$

خطوة 9.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

خطوة 9.1.2.3.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

خطوة 9.1.2.3.3

اكتب $- 3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

خطوة 9.1.2.3.4

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 9.1.2.3.5

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 9.1.2.3.6

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 9.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 3 - 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 9.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.5.1

اضرب $- 3$ في $9$ .

$\frac{- 1 + 3 - 27}{9}$

خطوة 9.1.2.5.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{2 - 27}{9}$

خطوة 9.1.2.5.3

اطرح $27$ من $2$ .

$\frac{- 25}{9}$

خطوة 9.1.2.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{25}{9}$

خطوة 9.2

اكتب الإحداثيين $x$ و $y$ بصيغة النقطة.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

خطوة 10

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = \frac{1}{3}$ ، إذن توجد نقطة تحوّل عند $x = \frac{1}{3}$ .

خطوة 11

أوجِد الإحداثي الصادي لـ $\frac{1}{3}$ لإيجاد نقطة التحوّل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد $f (\frac{1}{3})$ لإيجاد الإحداثي الصادي لـ $\frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2

بسّط $3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

احذِف الأقواس.

$3 {(\frac{1}{3})}^{3} - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$3 \frac{1^{3}}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \frac{1}{3^{3}} - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$3 (\frac{1}{27}) - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$3 \frac{1}{3 (9)} - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{1}{3 \cdot 9} - (\frac{1}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3}) - 3$

$\frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 3$

خطوة 11.1.2.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.3.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3}) - 3$

خطوة 11.1.2.3.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} - 3$

خطوة 11.1.2.3.3

اكتب $- 3$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

خطوة 11.1.2.3.4

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 11.1.2.3.5

اضرب $\frac{- 3}{1}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 11.1.2.3.6

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 11.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - 3 - 3 \cdot 9}{9}$

خطوة 11.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.5.1

اضرب $- 3$ في $9$ .

$\frac{1 - 3 - 27}{9}$

خطوة 11.1.2.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{- 2 - 27}{9}$

خطوة 11.1.2.5.3

اطرح $27$ من $- 2$ .

$\frac{- 29}{9}$

خطوة 11.1.2.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{29}{9}$

خطوة 11.2

اكتب الإحداثيين $x$ و $y$ بصيغة النقطة.

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

خطوة 12

هذه النقاط هي نقاط التحوّل.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{25}{9})$

$(\frac{1}{3}, - \frac{29}{9})$

خطوة 13