حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{2 x + y} = 2 x$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 x + y}$ في صورة ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 x$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 2 x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.6.3

انقُل ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.12.2

اضرب $2 + y'$ في $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

بسّط $\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 + y' = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.1.1.4

أعِد ترتيب $2$ و $y'$ .

$y' + 2 = 2 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$y' + 2 = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$y' = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$