حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ بالصيغة $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $\tan (x) \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.2

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

أعِد ترتيب $\tan (x)$ و $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.2.2

أعِد كتابة $\tan (x) \cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.3

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

أعِد كتابة $\cot (x) \tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $\cot (x) \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.4.1

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

خطوة 4.3.1.4.2

ارفع $\cot (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

خطوة 4.3.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 4.3.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

خطوة 9

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

خطوة 11

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

خطوة 12

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

خطوة 14

بما أن مشتق $- \cot (x)$ هو $\csc^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (x)$ هو $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

أضف $- x$ و $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

خطوة 15.1.2

اطرح $x$ من $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

خطوة 15.1.3

أضف $C + \tan (x) + C + C$ و $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

خطوة 15.2

بسّط.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$