حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

اجمع $2^{\sqrt{x}}$ و $\frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{2^{\sqrt{x}} \ln (2)}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 5

بما أن $\ln (2)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\ln (2)$ خارج التكامل.

$\ln (2) \int \frac{2^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 6.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (2) \int \frac{2^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 6.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 6.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 6.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 6.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (2) \int 2^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 7.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 7.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 7.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 7.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 7.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 7.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 7.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 7.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.1.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\ln (2) \int 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 8

اضرب $2$ في $2^{u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\ln (2) \int 2^{1} \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 8.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (2) \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

خطوة 9

لنفترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u_{2} = 1 + u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 9.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 9.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (2) \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 10

تكامل $2^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $\ln (2) (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ بالصيغة $\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$\ln (2) \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $\ln (2)$ و $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

خطوة 11.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

خطوة 11.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \cdot 2^{u_{2}} + C$

خطوة 11.2.3

اضرب $2^{u_{2}}$ في $1$ .

$2^{u_{2}} + C$

خطوة 12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + u_{1}$ .

$2^{1 + u_{1}} + C$

خطوة 12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln (2)}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2^{1 + x^{\frac{1}{2}}} + C$