حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{e^{2 x^{- 2}}}{x^{3}} d x$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int_{1}^{2} e^{2 x^{- 2}} x^{- 3} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 1^{2}$

خطوة 2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 2^{2}$

خطوة 2.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{4} e^{2 {\sqrt{u_{1}}}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{- 2}$ بالصيغة ${u_{1}}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 2}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 2}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{\frac{- 1}{1}}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.1.4.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {\sqrt{u_{1}}}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u_{1}}}^{- 4}$ بالصيغة ${u_{1}}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 4} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 4}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{\frac{- 2}{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.2.4.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 {u_{1}}^{- 1}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2}$ و ${u_{1}}^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2}}{2} d u_{1}$

خطوة 3.5

انقُل ${u_{1}}^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{e^{2 {u_{1}}^{- 1}}}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل ${u_{1}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} e^{2 {u_{1}}^{- 1}} {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . إذن $d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ ، لذا $1 d u_{2} = - \frac{2}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{- 1}]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 {u_{1}}^{- 1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$2 (- {u_{1}}^{- 2})$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 {u_{1}}^{- 2}$

خطوة 6.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{u_{1}}^{2}}$

خطوة 6.1.5.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{u_{1}}^{2}}$

خطوة 6.1.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{u_{1}}^{2}}$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{- 1}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 6.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 6.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = 2 \cdot 1$

خطوة 6.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 {u_{1}}^{- 1}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4^{- 1}$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 6.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 (2)}$

خطوة 6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- \frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{2}^{\frac{1}{2}} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 9

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{2}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10

احسِب قيمة $e^{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ وفي $2$ .

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{2}} - e^{2})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

خطوة 11.2

اجمع $e^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} - \frac{1}{4} (- e^{2})$

خطوة 11.3

اضرب $- \frac{1}{4} (- e^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e^{2}$

خطوة 11.3.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4} e^{2}$

خطوة 11.3.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{e^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{e^{2}}{4}$

الصيغة العشرية:

$1.43508370 \dots$

خطوة 13