حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

(x + 1) (x + 2) (x + 3)

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$

خطوة 1

اكتب

$(x + 1) (x + 2) (x + 3)$ في صورة دالة.

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة

$F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق

$f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int (x + 1) (x + 2) (x + 3) d x$

خطوة 4

لنفترض أن

$u = x + 3$ . إذن

$d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام

$u$ و

$d$

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن

$u = x + 3$ . أوجِد

$\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة

$x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

$x + 3$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 4.1.4

بما أن

$3$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، فإن مشتق

$3$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف

$1$ و

$0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام

$u$ و

$d u$ .

$\int (u - 3 + 1) (u - 3 + 2) u d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف

$- 3$ و

$1$ .

$\int (u - 2) (u - 3 + 2) u d u$

خطوة 5.2

أضف

$- 3$ و

$2$ .

$\int (u - 2) (u - 1) u d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u (u - 1) - 2 (u - 1)) u d u$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1)) u d u$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

خطوة 6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u + (- 2 u - 2 \cdot - 1) u d u$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.7

أعِد ترتيب

$u$ و

$- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.8

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{1} u \cdot u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.9

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{1} u^{1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.10

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 1} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.11

أضف

$1$ و

$1$ .

$\int u^{2} u - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.12

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{2} u^{1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.13

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{2 + 1} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.14

أضف

$2$ و

$1$ .

$\int u^{3} - 1 u \cdot u - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.15

أخرِج السالب.

$\int u^{3} - (u \cdot u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.16

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.17

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{3} - (u^{1} u^{1}) - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.18

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{1 + 1} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.19

أضف

$1$ و

$1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u \cdot u - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.20

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u) - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.21

ارفع

$u$ إلى القوة

$1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 (u^{1} u^{1}) - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.22

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{1 + 1} - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.23

أضف

$1$ و

$1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} - 2 \cdot - 1 u d u$

خطوة 6.24

اضرب

$- 2$ في

$- 1$ .

$\int u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u d u$

خطوة 6.25

اطرح

$2 u^{2}$ من

$- u^{2}$ .

$\int u^{3} - 3 u^{2} + 2 u d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{3} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$u^{3}$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 3 u^{2} d u + \int 2 u d u$

خطوة 9

بما أن

$- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 \int u^{2} d u + \int 2 u d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$u^{2}$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 2 u d u$

خطوة 11

بما أن

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 \int u d u$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$u$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + 2 \frac{u^{2}}{2} + C$

خطوة 13.2.2

اجمع

$2$ و

$\frac{u^{2}}{2}$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

خطوة 13.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + \frac{2 u^{2}}{2} + C$

خطوة 13.2.3.2

اقسِم

$u^{2}$ على

$1$ .

$\frac{u^{4}}{4} - u^{3} + u^{2} + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$x + 3$ .

$\frac{{(x + 3)}^{4}}{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة

$f (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ .

$F (x) =$

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{4} - {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{2} + C$