حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = - 2}^{3} 3^{- i}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{i}$ و $a_{i + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{3^{- (i + 1)}}{3^{- i}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $3^{- (i + 1)}$ و $3^{- i}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $3^{- i}$ من $3^{- (i + 1)}$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i}}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{3^{- i} \cdot 3^{- (i + 1) + i}}{3^{- i} \cdot 1}$

خطوة 2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{3^{- (i + 1) + i}}{1}$

خطوة 2.2.1.2.4

اقسِم $3^{- (i + 1) + i}$ على $1$ .

$r = 3^{- (i + 1) + i}$

خطوة 2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = 3^{- i - 1 \cdot 1 + i}$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r = 3^{- i - 1 + i}$

خطوة 2.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- i - 1 + i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أضف $- i$ و $i$ .

$r = 3^{0 - 1}$

خطوة 2.2.3.2

اطرح $1$ من $0$ .

$r = 3^{- 1}$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{3}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 2$ عن $i$ في $3^{- i}$ .

$a = 3^{2}$

خطوة 3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$a = 9$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$9 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{6}}{1 - \frac{1}{3}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$9 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $3$ في $1$ .

$9 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{6})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$9 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{6}}{3^{6}})}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1^{6}}{3^{6}}$ إلى بسط الكسر.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3^{6}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $3$ من $3^{6}$ .

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{6}}{3 \cdot 3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$9 \frac{3 + \frac{- 1^{6}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.5

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$9 \frac{3 + \frac{- 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 \frac{3 - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{3 \cdot \frac{243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.9

اجمع $3$ و $\frac{243}{243}$ .

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243}{243} - \frac{1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$9 \frac{\frac{3 \cdot 243 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $3$ في $243$ .

$9 \frac{\frac{729 - 1}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $1$ من $729$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 \cdot 1 - 1}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{3 - 1}$

خطوة 5.5.2

اطرح $1$ من $3$ .

$9 \frac{\frac{728}{243}}{2}$

خطوة 5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$9 (\frac{728}{243} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $2$ من $728$ .

$9 (\frac{2 (364)}{243} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 (\frac{2 \cdot 364}{243} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 (\frac{364}{243})$

خطوة 5.8

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أخرِج العامل $9$ من $243$ .

$9 \frac{364}{9 (27)}$

خطوة 5.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{364}{9 \cdot 27}$

خطوة 5.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{364}{27}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{364}{27}$

الصيغة العشرية:

$13.\overline{481}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$13 \frac{13}{27}$