حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 \sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{\sin (2 x)}{1 + 9 \cos^{2} (2 x)} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{(1 + 9 {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 (1 + 9 {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int \frac{1}{1 + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 8

أخرِج العامل $9$ من $1 + 9 {u_{2}}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $9$ من $1$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 8.2

أخرِج العامل $9$ من $9 {u_{2}}^{2}$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $9$ من $9 (\frac{1}{9}) + 9 ({u_{2}}^{2})$ .

$- \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 10

أعِد كتابة $\frac{1}{9}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

خطوة 12.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (\frac{u_{2}}{\frac{1}{3}}) + C)$

خطوة 12.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (u_{2} \cdot 3) + C)$

خطوة 12.1.4

انقُل $3$ إلى يسار $u_{2}$ .

$- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$

خطوة 12.2

أعِد كتابة $- \frac{1}{9} (3 \arctan (3 u_{2}) + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 3 \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{9}) \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{9}$ .

$\frac{- 3}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{9} \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 12.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} \arctan (3 u_{2}) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$- \frac{1}{3} \arctan (3 \cos (2 x)) + C$