حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ بالصيغة $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ .

$\int (\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(\sin (2 x) - \cos (2 x)) (\sin (2 x) - \cos (2 x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) (\sin (2 x) - \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

ارفع $\sin (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.3.1.1.2

ارفع $\sin (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sin (2 x)}^{1 + 1} + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \cos (2 x)) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) (- \cos (2 x)) d x$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $- \cos (2 x) (- \cos (2 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + 1 \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

خطوة 4.3.1.3.2

اضرب $\cos (2 x)$ في $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos (2 x) \cos (2 x) d x$

خطوة 4.3.1.3.3

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) d x$

خطوة 4.3.1.3.4

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) d x$

خطوة 4.3.1.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 4.3.1.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \sin (2 x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

خطوة 4.3.3

اطرح $\cos (2 x) \sin (2 x)$ من $- \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) + \cos^{2} (2 x) d x$

خطوة 4.4

انقُل $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 4.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int 1 - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - 2 \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x + C - 2 \int \cos (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 8.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 8.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 8.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 8.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$x + C - 2 \int u_{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x + C - 2 \int u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 9.2

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 \int - \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - 2 (- \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2})$

خطوة 11

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$x + C + 2 \int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C + 2 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + C + \frac{2}{2} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 13.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x + C + 1 \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 13.3

اضرب $\int u_{2} d u_{2}$ في $1$ .

$x + C + \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 15

بسّط.

$x + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

خطوة 16

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$

خطوة 17

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(\sin (2 x) - \cos (2 x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} \cos^{2} (2 x) + C$