حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{6 x + 2}{3 x - 1}$

خطوة 1

اكتب $\frac{6 x + 2}{3 x - 1}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{6 x + 2}{3 x - 1}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{6 x + 2}{3 x - 1} d x$

خطوة 4

اقسِم $6 x + 2$ على $3 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x$

$2$

خطوة 4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

					$2$
	$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$

خطوة 4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2$
$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$
			+	$6 x$	-	$2$

خطوة 4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 x - 2$

				$2$
$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$
			-	$6 x$	+	$2$

خطوة 4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2$
$3 x$	-	$1$		$6 x$	+	$2$
			-	$6 x$	+	$2$
					+	$4$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 2 + \frac{4}{3 x - 1} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 d x + \int \frac{4}{3 x - 1} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$2 x + C + \int \frac{4}{3 x - 1} d x$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{3 x - 1} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = 3 x - 1$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = 3 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 8.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 9.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$2 x + C + 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$2 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $4$ .

$2 x + C + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 x + C + \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$2 x + \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 1$ .

$2 x + \frac{4}{3} \ln (| 3 x - 1 |) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{6 x + 2}{3 x - 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + \frac{4}{3} \ln (| 3 x - 1 |) + C$