حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} + 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 8$ .

$\frac{(x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 8) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 8) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) (1 + 0) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) \cdot 1 - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8]}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.8

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - {(x + 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 3.9.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 8) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 16) (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

وسّع $(2 x^{2} + 16) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} (x + 1) + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 (x + 1) - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 1 + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 \cdot 1 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.3

اضرب $16$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 ((x + 1) (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + x + x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{2} + 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.8.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.8.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 + (- 2 x^{2} - 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{2} x - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.10.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.10.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.10.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.10.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.10.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.10.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.10.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.10.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 + 0 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أضف $2 x^{2} + 16 x + 16$ و $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 16 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اطرح $4 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 16 - 2 x}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

اطرح $2 x$ من $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2} + 14 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 14 x + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $14 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 16}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2}) + 2 (7 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{2} + 7 x) + 2 (8)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ ومجموعهما $b = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 7 (x) + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.2

أعِد كتابة $7$ في صورة $- 1$ زائد $8$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 8) x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 8 x + 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 8 (- x - 1))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.3.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 1$ .

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 8))}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.7

أعِد كتابة $- (x + 1)$ بالصيغة $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$

خطوة 4.9

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 8)}{{(x^{2} + 8)}^{2}}$