حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2 x - 1}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x - 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 2} d u$

خطوة 6.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt[3]{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 8.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 8.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 8.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 8.2.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 8.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $\frac{3}{2} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 10.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 10.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{9}{4} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 1$ .

$\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2 x - 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{4} {(2 x - 1)}^{\frac{2}{3}} + C$