حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - x - 11}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - x - 11$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 11] - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x - 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.8

أضف $2 x - 1$ و $0$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - (x^{2} - x - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 11) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - 1 \cdot e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} - - x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.1.4

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + 1 x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.1.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} - - 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.1.5

اضرب $- 1$ في $- 11$ .

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} - x^{2} e^{x} + x e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.2

أضف $2 e^{x} x$ و $x e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} + x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.2.2

أضف $2 x e^{x}$ و $x e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - e^{x} - x^{2} e^{x} + 11 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4.3

أضف $- e^{x}$ و $11 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} - x^{2} e^{x} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $3 e^{x} x - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $3 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (3 x) - e^{x} x^{2} + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.1.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + 10 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.1.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $10 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.1.4

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (3 x) + e^{x} (- x^{2})$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.1.5

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (3 x - x^{2}) + e^{x} \cdot 10$ .

$\frac{e^{x} (3 x - x^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.2

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$\frac{e^{x} (3 u - u^{2} + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 u + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ ومجموعهما $b = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 u$ .

$\frac{e^{x} (- u^{2} + 3 (u) + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3.2.2

أعِد كتابة $3$ في صورة $- 2$ زائد $5$

$\frac{e^{x} (- u^{2} + (- 2 + 5) u + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} (- u^{2} - 2 u + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{e^{x} ((- u^{2} - 2 u) + 5 u + 10)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{e^{x} (u (- u - 2) - 5 (- u - 2))}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u - 2$ .

$\frac{e^{x} ((- u - 2) (u - 5))}{e^{2 x}}$

خطوة 4.6.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$\frac{e^{x} (- x - 2) (x - 5)}{e^{2 x}}$

خطوة 4.7

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{x} (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x}}$

خطوة 4.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 4.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} ((e^{- x} (- x - 2)) (x - 5))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 4.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)}{1}$

خطوة 4.7.2.4

اقسِم $(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$ على $1$ .

$(e^{- x} (- x - 2)) (x - 5)$

خطوة 4.8

طبّق خاصية التوزيع.

$(e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

خطوة 4.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(- e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 2) (x - 5)$

خطوة 4.10

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$(- e^{- x} x - 2 \cdot e^{- x}) (x - 5)$

خطوة 4.11

وسّع $(- e^{- x} x - 2 e^{- x}) (x - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- e^{- x} x (x - 5) - 2 e^{- x} (x - 5)$

خطوة 4.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} (x - 5)$

خطوة 4.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- e^{- x} x \cdot x - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

خطوة 4.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1.1.1

انقُل $x$ .

$- e^{- x} (x \cdot x) - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

خطوة 4.12.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- e^{- x} x^{2} - e^{- x} x \cdot - 5 - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

خطوة 4.12.1.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x} \cdot - 5$

خطوة 4.12.1.3

اضرب $- 5$ في $- 2$ .

$- e^{- x} x^{2} + 5 e^{- x} x - 2 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

خطوة 4.12.2

اطرح $2 e^{- x} x$ من $5 e^{- x} x$ .

$- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$

خطوة 4.13

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} x + 10 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 x e^{- x} + 10 e^{- x}$