حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

انقُل $x$ .

$4 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 (x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$4 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.9

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- x^{2}}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 e^{- x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x^{2}$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- (2 x)))$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{- x^{2}} (- 2 x))$

خطوة 3.6

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 2$ في $4$ .

$- 8 (x^{3} (e^{- x^{2}})) + 4 (e^{- x^{2}} (2 x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 8 (e^{- x^{2}} (x)) + 4 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.2.3

أضف $8 e^{- x^{2}} x$ و $4 e^{- x^{2}} x$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 8 e^{- x^{2}} x^{3} + 12 e^{- x^{2}} x$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب العوامل في $- 8 e^{- x^{2}} x^{3} + 12 e^{- x^{2}} x$ .

$- 8 x^{3} e^{- x^{2}} + 12 x e^{- x^{2}}$