حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{5}{8} x^{- 2} + \frac{4}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{4} + \frac{1}{10} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x^{- 2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{5}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{8} x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$\frac{5}{8} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.4

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{- 10}{8} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.5

اجمع $\frac{- 10}{8}$ و $x^{- 3}$ .

$\frac{- 10 x^{- 3}}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.6

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 10}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{8 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 5)}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (4 x^{3})} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{4}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.3

اجمع $3$ و $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.4

اضرب $3$ في $4$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.5

اجمع $\frac{12}{3}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x^{2}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.3.6.2.4

اقسِم $4 x^{2}$ على $1$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{3} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{2}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.4.3

اجمع $4$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{4 \cdot 2}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.4.4

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.4.5

اجمع $\frac{8}{3}$ و $x^{3}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{10} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 3 x^{- 4})$

خطوة 1.5.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10} x^{- 4}$

خطوة 1.5.4

اجمع $\frac{- 3}{10}$ و $x^{- 4}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{10}$

خطوة 1.5.5

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} + \frac{- 3}{10 x^{4}}$

خطوة 1.5.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{4 x^{3}} + 4 x^{2} + \frac{8 x^{3}}{3} - \frac{3}{10 x^{4}}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{8 x^{3}}{3} + 4 x^{2} - \frac{5}{4 x^{3}} - \frac{3}{10 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{8 x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{8}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $3$ و $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{24}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.4

اقسِم $8 x^{2}$ على $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{4 x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- \frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{4 x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$8 x^{2} + 8 x - \frac{5}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.8

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + 3 (\frac{5}{4}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.9

اجمع $3$ و $\frac{5}{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{3 \cdot 5}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.10

اضرب $3$ في $5$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.11

اجمع $\frac{15}{4}$ و $x^{- 4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.4.12

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{10 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- \frac{3}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{10 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{4}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.5.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.5.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.5.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} - \frac{3}{10} (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.5.8

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + 4 (\frac{3}{10}) x^{- 5}$

خطوة 2.5.9

اجمع $4$ و $\frac{3}{10}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{4 \cdot 3}{10} x^{- 5}$

خطوة 2.5.10

اضرب $4$ في $3$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10} x^{- 5}$

خطوة 2.5.11

اجمع $\frac{12}{10}$ و $x^{- 5}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12 x^{- 5}}{10}$

خطوة 2.5.12

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{12}{10 x^{5}}$

خطوة 2.5.13

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.13.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{10 x^{5}}$

خطوة 2.5.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10 x^{5}$ .

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 (6)}{2 (5 x^{5})}$

خطوة 2.5.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{2 \cdot 6}{2 (5 x^{5})}$

خطوة 2.5.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{2} + 8 x + \frac{15}{4 x^{4}} + \frac{6}{5 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$16 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$16 x + 8 + \frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{15}{4 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $\frac{15}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{15}{4 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$16 x + 8 + \frac{15}{4} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.8

اجمع $- 4$ و $\frac{15}{4}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 4 \cdot 15}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.9

اضرب $- 4$ في $15$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.10

اجمع $\frac{- 60}{4}$ و $x^{- 5}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60 x^{- 5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.11

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x + 8 + \frac{- 60}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 60$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.1

أخرِج العامل $4$ من $- 60$ .

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{5}$ .

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$16 x + 8 + \frac{4 \cdot - 15}{4 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$16 x + 8 + \frac{- 15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$

خطوة 3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{6}{5 x^{5}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $\frac{6}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{6}{5 x^{5}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{5}}$ بالصيغة ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

خطوة 3.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.5.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

خطوة 3.5.5

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

خطوة 3.5.5.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

خطوة 3.5.6

اضرب $5$ في $- 1$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

خطوة 3.5.7

اضرب $x^{- 10}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

انقُل $x^{4}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

خطوة 3.5.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

خطوة 3.5.7.3

اطرح $10$ من $4$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{6}{5} (- 5 x^{- 6})$

خطوة 3.5.8

اجمع $- 5$ و $\frac{6}{5}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 5 \cdot 6}{5} x^{- 6}$

خطوة 3.5.9

اضرب $- 5$ في $6$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5} x^{- 6}$

خطوة 3.5.10

اجمع $\frac{- 30}{5}$ و $x^{- 6}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30 x^{- 6}}{5}$

خطوة 3.5.11

انقُل $x^{- 6}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 30}{5 x^{6}}$

خطوة 3.5.12

احذِف العامل المشترك لـ $- 30$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.12.1

أخرِج العامل $5$ من $- 30$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

خطوة 3.5.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.12.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{6}$ .

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 (x^{6})}$

خطوة 3.5.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{5 \cdot - 6}{5 x^{6}}$

خطوة 3.5.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} + \frac{- 6}{x^{6}}$

خطوة 3.5.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$16 x + 8 - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}}$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f''' (x) = 16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$

خطوة 4

المشتق الثالث لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$ .

$16 x - \frac{15}{x^{5}} - \frac{6}{x^{6}} + 8$