حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \arctan (x^{2})$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.1.1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.1.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

خطوة 1.1.1.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

خطوة 1.1.1.2.3.2

اجمع $\frac{2}{1 + x^{4}}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

خطوة 1.1.1.2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.2

اضرب $x^{4} + 1$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.6.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.4.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.4.3

أضف $3$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.5

اطرح $4 x^{4}$ من $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.2.6

اجمع $2$ و $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.2.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.3

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x^{4} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.7

أعِد كتابة $- (3 x^{4} - 1)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 1.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

اقسِم كل حد في $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.1.2.1.2

اقسِم $3 x^{4} - 1$ على $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 1.2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

خطوة 1.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{4} = 1$

خطوة 1.2.3.3

اقسِم كل حد في $3 x^{4} = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{4} = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 1.2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 1.2.3.3.2.1.2

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

خطوة 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.2.3.5

بسّط $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.1

أعِد كتابة $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

خطوة 1.2.3.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

خطوة 1.2.3.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ في $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

خطوة 1.2.3.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ في $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

خطوة 1.2.3.5.4.2

ارفع $\sqrt[4]{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

خطوة 1.2.3.5.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

خطوة 1.2.3.5.4.4

أضف $1$ و $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

خطوة 1.2.3.5.4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

خطوة 1.2.3.5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.5.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

خطوة 1.2.3.5.5.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

خطوة 1.2.3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

خطوة 1.2.3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

خطوة 1.2.3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $3$ في $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

اطرح $1$ من $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أضف $81$ و $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

خطوة 4.2.2.3

ارفع $82$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

خطوة 4.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $2$ في $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

خطوة 4.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $484$ و $6724$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

خطوة 4.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

خطوة 4.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

خطوة 4.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ لأن $f'' (- 3)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$f'' (0) = 2$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

أضف $1$ و $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $1$ من $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.3.2

أضف $81$ و $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

خطوة 6.2.3.3

ارفع $82$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

خطوة 6.2.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $2$ في $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

خطوة 6.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $484$ و $6724$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

خطوة 6.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

خطوة 6.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

خطوة 6.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

خطوة 6.2.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ لأن $f'' (3)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 8