حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x} + 1$

خطوة 1

اكتب $e^{2 x} + 1$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{2 x} + 1$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{2 x} + 1 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{2 x} d x + \int d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int d x$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int d x$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int d x$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + x + C$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{2} e^{u} + x + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + x + C$