حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 \cos (3 θ))}^{2} d θ$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cos (3 θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(3 (\cos (3 θ)))}^{2} d θ$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (\cos (3 θ))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3^{2} \cos^{2} (3 θ) d θ$

خطوة 1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} (3 θ) d θ$

خطوة 2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} (3 θ) d θ$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 3 θ$ . إذن $d u_{1} = 3 d θ$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 3 θ$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $3 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [3 θ]$

خطوة 3.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $3 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $3 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [θ]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $θ$ في $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $θ$ في $u_{1} = 3 θ$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 4

اجمع $\cos^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{3}$ .

$9 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $9$ .

$\frac{9}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{3}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 12.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 12.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 12.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 12.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 12.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 12.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

خطوة 12.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 13

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 15

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{2} (u_{1}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

خطوة 16

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احسِب قيمة $u_{1}$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{π})$

خطوة 16.2

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $π$ وفي $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

خطوة 16.3

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

خطوة 17.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

خطوة 17.3

أضف $\sin (π)$ و $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

خطوة 17.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (π)$ .

$\frac{3}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

خطوة 18.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

خطوة 18.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

خطوة 18.3

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 18.4

اضرب $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 18.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 π}{4}$

خطوة 19

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3 π}{4}$

الصيغة العشرية:

$2.35619449 \dots$