حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{X^{3} + X}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{X^{3} + X}$ في صورة دالة.

$f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (X)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (X)$ .

$F (X) = \int f (X) d X$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (X) = \int \frac{1}{X^{3} + X} d X$

خطوة 4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $X$ من $X^{3} + X$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أخرِج العامل $X$ من $X^{3}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X}$

خطوة 4.1.1.2

ارفع $X$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X^{1}}$

خطوة 4.1.1.3

أخرِج العامل $X$ من $X^{1}$ .

$\frac{1}{X \cdot X^{2} + X \cdot 1}$

خطوة 4.1.1.4

أخرِج العامل $X$ من $X \cdot X^{2} + X \cdot 1$ .

$\frac{1}{X (X^{2} + 1)}$

خطوة 4.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $X (X^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $X$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (X (X^{2} + 1))}{X (X^{2} + 1)} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $X^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (X^{2} + 1)}{X^{2} + 1} = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $X$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (X (X^{2} + 1))}{X} + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.6.1.2

اقسِم $A (X^{2} + 1)$ على $1$ .

$1 = A (X^{2} + 1) + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A X^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.6.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $X^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A X^{2} + A + \frac{(B X + C) (X (X^{2} + 1))}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.1.6.4.2

اقسِم $(B X + C) (X)$ على $1$ .

$1 = A X^{2} + A + (B X + C) (X)$

خطوة 4.1.6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A X^{2} + A + B X \cdot X + C X$

خطوة 4.1.6.6

اضرب $X$ في $X$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.6.1

انقُل $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B (X \cdot X) + C X$

خطوة 4.1.6.6.2

اضرب $X$ في $X$ .

$1 = A X^{2} + A + B X^{2} + C X$

خطوة 4.1.7

انقُل $A$ .

$1 = A X^{2} + B X^{2} + C X + A$

خطوة 4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $X^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $X$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 4.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $X$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 4.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

خطوة 4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.3.4

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.3.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 4.3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

خطوة 4.3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

خطوة 4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{X} + \frac{B X + C}{X^{2} + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- 1 X + 0}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{X} + \frac{(- 1) \cdot X + 0}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

أعِد كتابة $- 1 X$ بالصيغة $- X$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X + 0}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.5.2.2

أضف $- X$ و $0$ .

$\frac{1}{X} + \frac{- X}{X^{2} + 1}$

خطوة 4.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{X} - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{X} d X + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{X}$ بالنسبة إلى $X$ هو $\ln (| X |)$ .

$\ln (| X |) + C + \int - \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $X$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| X |) + C - \int \frac{X}{X^{2} + 1} d X$

خطوة 8

لنفترض أن $u = X^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 X d X$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = X d X$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = X^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d X}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $X^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2} + 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $X^{2} + 1$ بالنسبة إلى $X$ هو $\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$ .

$\frac{d}{d X} [X^{2}] + \frac{d}{d X} [1]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ هو $n X^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 X + \frac{d}{d X} [1]$

خطوة 8.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $X$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $X$ هو $0$ .

$2 X + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $2 X$ و $0$ .

$2 X$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 9.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\ln (| X |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\ln (| X |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| X |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 12

بسّط.

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $X^{2} + 1$ .

$\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (X) = \frac{1}{X^{3} + X}$ .

$F (X) =$ $\ln (| X |) - \frac{1}{2} \ln (| X^{2} + 1 |) + C$