حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- \frac{3}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{20} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 5$ و $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.5

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.6

اجمع $\frac{- 15}{20}$ و $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.2.1

أخرِج العامل $5$ من $20$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 8 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $8$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{3 x^{4}}{4} + 24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- \frac{3}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3 x^{4}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $- 4$ في $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.6

اجمع $\frac{- 12}{4}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.2.7.2.4

اقسِم $- 3 x^{3}$ على $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 24 (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $24$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 48 x$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{3} + 48 x$ .

$- 3 x^{3} + 48 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 3 x^{3} + 48 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{3} + 48 x = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{3} + 48 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 48 x = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $- 3 x$ من $48 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 16 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $- 3 x$ من $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 16)$ .

$- 3 x (x^{2} - 16) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$- 3 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 3 x (x + 4) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4, 4$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 8 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 8 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $8$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 4$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot {(- 4)}^{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $5$ .

$f (- 4) = - \frac{3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{20}$ إلى بسط الكسر.

$f (- 4) = \frac{- 3}{20} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot - 1024 + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $- 1024$ .

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 256) + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 4) = \frac{- 3}{5} \cdot - 256 + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.3

اجمع $\frac{- 3}{5}$ و $- 256$ .

$f (- 4) = \frac{- 3 \cdot - 256}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 3$ في $- 256$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 {(- 4)}^{3}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + 8 \cdot - 64$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $8$ في $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $- 512$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} - 512 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $- 512$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = \frac{768}{5} + \frac{- 512 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 4) = \frac{768 - 512 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $- 512$ في $5$ .

$f (- 4) = \frac{768 - 2560}{5}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $2560$ من $768$ .

$f (- 4) = \frac{- 1792}{5}$

خطوة 3.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 4) = - \frac{1792}{5}$

خطوة 3.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1792}{5}$ .

$- \frac{1792}{5}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 4$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ هي $(- 4, - \frac{1792}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 4, - \frac{1792}{5})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $4$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot {(4)}^{5} + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$f (4) = - \frac{3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{20}$ إلى بسط الكسر.

$f (4) = \frac{- 3}{20} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot 1024 + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $1024$ .

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (4) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot 256) + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (4) = \frac{- 3}{5} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.3

اجمع $\frac{- 3}{5}$ و $256$ .

$f (4) = \frac{- 3 \cdot 256}{5} + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.4

اضرب $- 3$ في $256$ .

$f (4) = \frac{- 768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 {(4)}^{3}$

خطوة 3.5.2.1.6

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 8 \cdot 64$

خطوة 3.5.2.1.7

اضرب $8$ في $64$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512$

خطوة 3.5.2.2

لكتابة $512$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + 512 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.5.2.3

اجمع $512$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (4) = - \frac{768}{5} + \frac{512 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = \frac{- 768 + 512 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

اضرب $512$ في $5$ .

$f (4) = \frac{- 768 + 2560}{5}$

خطوة 3.5.2.5.2

أضف $- 768$ و $2560$ .

$f (4) = \frac{1792}{5}$

خطوة 3.5.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1792}{5}$ .

$\frac{1792}{5}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $4$ في $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 8 x^{3}$ هي $(4, \frac{1792}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(4, \frac{1792}{5})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 4, - \frac{1792}{5}), (4, \frac{1792}{5})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4.1$ في العبارة.

$f'' (- 4.1) = - 3 {(- 4.1)}^{3} + 48 (- 4.1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 4.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4.1) = - 3 \cdot - 68.921 + 48 (- 4.1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 68.921$ .

$f'' (- 4.1) = 206.763 + 48 (- 4.1)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $48$ في $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 206.763 - 196.8$

خطوة 5.2.2

اطرح $196.8$ من $206.763$ .

$f'' (- 4.1) = 9.963$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $9.963$ .

$9.963$

خطوة 5.3

في $- 4.1$ ، المشتق الثاني هو $9.963$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 4)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 4)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 4, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{3} + 48 (- 2)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2) = - 3 \cdot - 8 + 48 (- 2)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 3$ في $- 8$ .

$f'' (- 2) = 24 + 48 (- 2)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $48$ في $- 2$ .

$f'' (- 2) = 24 - 96$

خطوة 6.2.2

اطرح $96$ من $24$ .

$f'' (- 2) = - 72$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 72$ .

$- 72$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 2$ يساوي $- 72$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 4, 0)$

تناقص خلال $(- 4, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - 3 {(2)}^{3} + 48 (2)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = - 3 \cdot 8 + 48 (2)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 3$ في $8$ .

$f'' (2) = - 24 + 48 (2)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $48$ في $2$ .

$f'' (2) = - 24 + 96$

خطوة 7.2.2

أضف $- 24$ و $96$ .

$f'' (2) = 72$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $72$ .

$72$

خطوة 7.3

في $2$ ، المشتق الثاني هو $72$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, 4)$ .

تزايد خلال $(0, 4)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.1$ في العبارة.

$f'' (4.1) = - 3 {(4.1)}^{3} + 48 (4.1)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $4.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (4.1) = - 3 \cdot 68.921 + 48 (4.1)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 3$ في $68.921$ .

$f'' (4.1) = - 206.763 + 48 (4.1)$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $48$ في $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 206.763 + 196.8$

خطوة 8.2.2

أضف $- 206.763$ و $196.8$ .

$f'' (4.1) = - 9.963$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 9.963$ .

$- 9.963$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $4.1$ يساوي $- 9.963$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(4, \infty)$

تناقص خلال $(4, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$ .

$(- 4, - \frac{1792}{5}), (0, 0), (4, \frac{1792}{5})$

خطوة 10