حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int - 2 (5 x^{2} + 2 x) e^{3 x} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (- 2 (5 x^{2}) - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

خطوة 1.2

اضرب $5$ في $- 2$ .

$\int (- 10 x^{2} - 2 (2 x)) e^{3 x} d x$

خطوة 1.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\int (- 10 x^{2} - 4 x) e^{3 x} d x$

خطوة 1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 10 x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 3

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 10$ خارج التكامل.

$- 10 \int x^{2} e^{3 x} d x + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$- 10 (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 5.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 5.4

اجمع $2$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ و $x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 8.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 8.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{1} = 3 x$ . إذن $d u_{1} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{1} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 11

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 13.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 14

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) + \int - 4 x e^{3 x} d x$

خطوة 15

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 \int x e^{3 x} d x$

خطوة 16

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 17.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

خطوة 17.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

خطوة 18

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

خطوة 19

لنفترض أن $u_{2} = 3 x$ . إذن $d u_{2} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

افترض أن $u_{2} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 19.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 19.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 19.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 19.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2})$

خطوة 20

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

خطوة 21

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

خطوة 22

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 22.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 23

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C))) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C))$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

بسّط.

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{2}}) + C$

خطوة 24.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{9}$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{u_{1}}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

خطوة 25

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{u_{2}}}{9}) + C$

خطوة 25.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$- 10 (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2 x e^{3 x}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27}) - 4 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

خطوة 26

أعِد ترتيب الحدود.

$- 10 (\frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} - \frac{2}{9} x e^{3 x} + \frac{2}{27} e^{3 x}) - 4 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$