حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{5 + \tan (x)}{2 x + e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 5 + \tan (x)$ و $g (x) = 2 x + e^{x}$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \frac{d}{d x} [5 + \tan (x)] - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + \tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [2 x + e^{x}]}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(2 x + e^{x}) \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - (5 + \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) + (- 1 \cdot 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) + (- 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

وسّع $(- 5 - \tan (x)) (2 + e^{x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 (2 + e^{x}) - \tan (x) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 \cdot 2 - 5 e^{x} - \tan (x) (2 + e^{x})}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 5 \cdot 2 - 5 e^{x} - \tan (x) \cdot 2 - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - \tan (x) \cdot 2 - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - \tan (x) e^{x}}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - \tan (x) e^{x}$ .

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x) - e^{x} \tan (x)}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x \sec^{2} (x) + e^{x} \sec^{2} (x) - e^{x} \tan (x) - 10 - 5 e^{x} - 2 \tan (x)}{{(2 x + e^{x})}^{2}}$