حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{e^{x} - 1}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{e^{x} - 1}$ بالصيغة ${(e^{x} - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = e^{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} - 1$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

خطوة 5.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$- {(e^{x} - 1)}^{- 2} e^{x}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}} e^{x}$

خطوة 6.2

اجمع $e^{x}$ و $\frac{1}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$