حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arctan (u)]_{1}^{0}$ .

$- (\arctan (u)]_{1}^{0})$

خطوة 6

احسِب قيمة $\arctan (u)$ في $0$ وفي $1$ .

$- (\arctan (0) - \arctan (1))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$- (0 - \arctan (1))$

خطوة 7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$- (0 - \frac{π}{4})$

خطوة 7.2

اطرح $\frac{π}{4}$ من $0$ .

$- - \frac{π}{4}$

خطوة 7.3

اضرب $- - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{π}{4}$ في $1$ .

$\frac{π}{4}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.78539816 \dots$