حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on $[- 3, 1]$

خطوة 1

أوجِد النقاط الحرجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.1.2.3

اضرب $2$ في $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

خطوة 1.1.1.3.2

أضف $4 x^{3} - 16 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

خطوة 1.1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 1.2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 1.2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2, 2$

خطوة 1.3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 1.4

احسِب قيمة $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

خطوة 1.4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

خطوة 1.4.1.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

خطوة 1.4.1.2.1.3

اضرب $- 8$ في $0$ .

$0 + 0 + 2$

خطوة 1.4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 2$

خطوة 1.4.1.2.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 1.4.2

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

خطوة 1.4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

خطوة 1.4.2.2.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

خطوة 1.4.2.2.1.3

اضرب $- 8$ في $4$ .

$16 - 32 + 2$

خطوة 1.4.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.1

اطرح $32$ من $16$ .

$- 16 + 2$

خطوة 1.4.2.2.2.2

أضف $- 16$ و $2$ .

$- 14$

خطوة 1.4.3

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

خطوة 1.4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

خطوة 1.4.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

خطوة 1.4.3.2.1.3

اضرب $- 8$ في $4$ .

$16 - 32 + 2$

خطوة 1.4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.2.1

اطرح $32$ من $16$ .

$- 16 + 2$

خطوة 1.4.3.2.2.2

أضف $- 16$ و $2$ .

$- 14$

خطوة 1.4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

خطوة 2

استبعِد النقاط غير الموجودة في الفترة.

$(0, 2), (- 2, - 14)$

خطوة 3

استخدِم اختبار المشتق الأول لتحديد النقاط التي يمكن أن تمثل نقاطًا قصوى أو دنيا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 3.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 4$ ، من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 16 x$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 16 \cdot - 4$

خطوة 3.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 16 \cdot - 4$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $4$ في $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 16 \cdot - 4$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $- 16$ في $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 64$

خطوة 3.2.2.2

أضف $- 256$ و $64$ .

$f' (- 4) = - 192$

خطوة 3.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 192$ .

$- 192$

خطوة 3.3

عوّض بأي عدد، مثل $- 1$ ، من الفترة $(- 2, 0)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 16 x$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 16 \cdot - 1$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 16 \cdot - 1$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 16 \cdot - 1$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب $- 16$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 4$ و $16$ .

$f' (- 1) = 12$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 3.4

عوّض بأي عدد، مثل $1$ ، من الفترة $(0, 2)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 16 x$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 16 \cdot 1$

خطوة 3.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (1) = 4 - 16 \cdot 1$

خطوة 3.4.2.1.3

اضرب $- 16$ في $1$ .

$f' (1) = 4 - 16$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $16$ من $4$ .

$f' (1) = - 12$

خطوة 3.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 12$ .

$- 12$

خطوة 3.5

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الأول $4 x^{3} - 16 x$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

اضرب $4$ في ${(4)}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

اضرب $4$ في ${(4)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 16 \cdot 4$

خطوة 3.5.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 16 \cdot 4$

خطوة 3.5.2.1.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 16 \cdot 4$

خطوة 3.5.2.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f' (4) = 256 - 16 \cdot 4$

خطوة 3.5.2.1.3

اضرب $- 16$ في $4$ .

$f' (4) = 256 - 64$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $64$ من $256$ .

$f' (4) = 192$

خطوة 3.5.2.3

الإجابة النهائية هي $192$ .

$192$

خطوة 3.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = - 2$ ، إذن $x = - 2$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = - 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 3.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 2$ ، إذن $x = 2$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 3.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ .

$x = - 2$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

$x = - 2$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = 2$ هي حد أدنى محلي

خطوة 4

قارن قيم $f (x)$ الموجودة لكل قيمة من قيم $x$ من أجل تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق على مدى الفترة الزمنية المحددة. سيظهر الحد الأقصى بأعلى قيمة $f (x)$ وسيظهر الحد الأدنى بأقل قيمة $f (x)$ .

الحد الأقصى المطلق: $(0, 2)$

الحد الأدنى المطلق: $(- 2, - 14)$

خطوة 5