حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \ln (x + 2)$

خطوة 1

اكتب $x \ln (x + 2)$ في صورة دالة.

$f (x) = x \ln (x + 2)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \ln (x + 2) d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x + 2)$ و $d v = x$ .

$\ln (x + 2) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (x + 2) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 5.2

اجمع $\ln (x + 2)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 7

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 2} d x$

خطوة 8

اقسِم $x^{2}$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 8.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 8.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

خطوة 8.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

خطوة 8.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

خطوة 8.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$

خطوة 8.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$

خطوة 8.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$4$

خطوة 8.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x - 4$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$4$

خطوة 8.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$4$
							+	$4$

خطوة 8.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 2 + \frac{4}{x + 2} d x$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{4}{x + 2} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{4}{x + 2} d x)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{4}{x + 2} d x)$

خطوة 12

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 13

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 13.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 13.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 13.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 14

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + 4 (\ln (| u |) + C))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (x + 2) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) + C$

خطوة 15.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (x + 2)$ .

$\frac{\ln (x + 2)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) + C$

خطوة 15.2.2

اجمع $\frac{\ln (x + 2)}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) + C$

خطوة 15.2.3

لكتابة $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 15.2.4

اجمع $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 15.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 15.2.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 15.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 15.2.8

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 15.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 15.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 15.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 15.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 15.2.9.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + 4 \ln (| x + 2 |))}{2} + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

لكتابة $4 \ln (| x + 2 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2}}{2} + 4 \ln (| x + 2 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

خطوة 17.2

اجمع $4 \ln (| x + 2 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

خطوة 17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2} + 4 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

خطوة 17.4

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x + \frac{x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |)}{2})}{2} + C$

خطوة 17.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} - (- 2 x) - \frac{x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |)}{2}}{2} + C$

خطوة 17.6

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 2) x^{2} + 2 x - \frac{x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |)}{2}}{2} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (\ln (x + 2) x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |))) + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \ln (x + 2)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 2) x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 8 \ln (| x + 2 |))) + C$