حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{1 + x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{1 + x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

خطوة 4

أعِد ترتيب $1$ و $x$ .

$\int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

خطوة 5

اقسِم $x^{2}$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

خطوة 5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

خطوة 5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

خطوة 5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

خطوة 5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

خطوة 5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

خطوة 5.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 9.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$