حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x + 3}{2 - x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{2 x + 3}{2 - x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{2 - x} d x$

خطوة 4

أعِد ترتيب $2$ و $- x$ .

$\int \frac{2 x + 3}{- x + 2} d x$

خطوة 5

اقسِم $2 x + 3$ على $- x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$2 x$

$3$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x$ .

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				+	$2 x$	-	$4$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x - 4$

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$2$
-	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$3$
				-	$2 x$	+	$4$
						+	$7$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - 2 + \frac{7}{- x + 2} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 2 d x + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 x + C + \int \frac{7}{- x + 2} d x$

خطوة 8

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$- 2 x + C + 7 \int \frac{1}{- x + 2} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u = - x + 2$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = - x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 9.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- 2 x + C + 7 \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 x + C + 7 \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 2 x + C + 7 (- \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12

اضرب $- 1$ في $7$ .

$- 2 x + C - 7 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 2 x + C - 7 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 14

بسّط.

$- 2 x - 7 \ln (| u |) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 2$ .

$- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2 x + 3}{2 - x}$ .

$F (x) =$ $- 2 x - 7 \ln (| - x + 2 |) + C$