حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} e^{2 x}$

خطوة 1

اكتب $x^{2} e^{2 x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{2} e^{2 x} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{2 x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

خطوة 5.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

خطوة 7.3

اضرب $\int e^{2 x} (x) d x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 9.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 9.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

خطوة 11

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

خطوة 12

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

خطوة 14.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 15

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ بالصيغة $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 16.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.4

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 16.2.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

خطوة 16.2.6

لكتابة $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 16.2.7

اجمع $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 16.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 16.2.9

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

خطوة 18.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

خطوة 18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

خطوة 18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

خطوة 18.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

خطوة 18.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

خطوة 18.3.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

خطوة 18.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

خطوة 18.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.4.2

اضرب $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.4.2.2

اضرب $\frac{e^{2 x}}{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.5

لكتابة $- x e^{2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.6

اجمع $- x e^{2 x}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.8.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.8.1.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

خطوة 18.8.1.2

اضرب في $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

خطوة 18.8.1.3

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

خطوة 18.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

خطوة 18.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

خطوة 18.10

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

خطوة 18.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

خطوة 18.12

أعِد كتابة $- (2 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

خطوة 18.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

خطوة 20

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$