حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (θ)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \tan (θ)$ . إذن $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \tan (θ)$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $θ$ في $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 4.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $θ$ في $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$4 \int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

خطوة 5

اضرب $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$4 \int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $u^{4}$ في $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

خطوة 6.2.2

أضف $2$ و $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$4 (\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{u^{5}}{5}]_{0}^{1}$ و $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1})$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{7}$ و $u^{7}$ .

$4 (\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}]_{0}^{1})$

خطوة 12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $\frac{u^{5}}{5} + \frac{u^{7}}{7}$ في $1$ وفي $0$ .

$4 ((\frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{7}}{7}) - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1^{7}}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.3

لكتابة $\frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.4

لكتابة $\frac{1}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $35$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{7}{7}$ .

$4 (\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.5.2

اضرب $5$ في $7$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.5.3

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.5.4

اضرب $7$ في $5$ .

$4 (\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{7 + 5}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.7

أضف $7$ و $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0^{5}}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.9.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 (0)}{5} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.9.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{12}{35} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0^{7}}{7}))$

خطوة 12.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{7}))$

خطوة 12.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.1

أخرِج العامل $7$ من $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 (0)}{7}))$

خطوة 12.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.11.2.1

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

خطوة 12.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

خطوة 12.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{12}{35} - (0 + \frac{0}{1}))$

خطوة 12.2.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$4 (\frac{12}{35} - (0 + 0))$

خطوة 12.2.12

أضف $0$ و $0$ .

$4 (\frac{12}{35} - 0)$

خطوة 12.2.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$4 (\frac{12}{35} + 0)$

خطوة 12.2.14

أضف $\frac{12}{35}$ و $0$ .

$4 (\frac{12}{35})$

خطوة 12.2.15

اجمع $4$ و $\frac{12}{35}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{35}$

خطوة 12.2.16

اضرب $4$ في $12$ .

$\frac{48}{35}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{48}{35}$

الصيغة العشرية:

$1.37142857 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{13}{35}$