حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 6 (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int (3 x + 1) e^{15 x^{2} + 10 x - 15} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . إذن $d u = (30 x + 10) d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = (3 x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 15 x^{2} + 10 x - 15$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 15]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{2} + 10 x - 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $10$ في $1$ .

$30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 15]$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$30 x + 10 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $30 x + 10$ و $0$ .

$30 x + 10$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{10} d u$

خطوة 3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{10}$ .

$6 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{10}$ و $6$ .

$\frac{6}{10} \int e^{u} d u$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (3)}{10} \int e^{u} d u$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{3}{5} (e^{u} + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{3}{5} e^{u} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $15 x^{2} + 10 x - 15$ .

$\frac{3}{5} e^{15 x^{2} + 10 x - 15} + C$