حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (θ)}^{2 + 2} \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 1.2

أعِد كتابة ${\sec (θ)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (θ)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (θ)) \sec^{2} (θ) \tan^{4} (θ) d θ$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \tan (θ)$ . إذن $d u = \sec^{2} (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (θ)} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \tan (θ)$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\tan (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $θ$ في $u = \tan (θ)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $θ$ في $u = \tan (θ)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 3.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} (1 + u^{2}) u^{4} d u$

خطوة 4

اضرب $(1 + u^{2}) u^{4}$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $u^{4}$ في $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2} u^{4} d u$

خطوة 5.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{2 + 4} d u$

خطوة 5.2.2

أضف $2$ و $4$ .

$\int_{0}^{1} u^{4} + u^{6} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} u^{4} d u + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{6} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{5} u^{5}]_{0}^{1}$ و $\frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}]_{0}^{1}$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{7} u^{7}$ في $1$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7}) - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} \cdot 1 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.4

اضرب $\frac{1}{7}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.5

لكتابة $\frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.6

لكتابة $\frac{1}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $35$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.7.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.7.2

اضرب $5$ في $7$ .

$\frac{7}{35} + \frac{1}{7} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.7.3

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{7 \cdot 5} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.7.4

اضرب $7$ في $5$ .

$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7 + 5}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.9

أضف $7$ و $5$ .

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{12}{35} - (\frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.11

اضرب $\frac{1}{5}$ في $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

خطوة 10.2.12

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{12}{35} - (0 + \frac{1}{7} \cdot 0)$

خطوة 10.2.13

اضرب $\frac{1}{7}$ في $0$ .

$\frac{12}{35} - (0 + 0)$

خطوة 10.2.14

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{12}{35} - 0$

خطوة 10.2.15

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{12}{35} + 0$

خطوة 10.2.16

أضف $\frac{12}{35}$ و $0$ .

$\frac{12}{35}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{12}{35}$

الصيغة العشرية:

$0.3\overline{428571}$