حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' = 2 x y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y)$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y)$

خطوة 2.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y)$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y x)$

خطوة 2.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

خطوة 2.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = 2 x d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + C}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y |$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + C}$

خطوة 4.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + C}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{x^{2} + C}$ بالصيغة $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{x^{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}}$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{x^{2}}$