حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{3}^{5} \frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حلّل $x^{2} + 2 x - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $2$ .

$- 1, 3$

خطوة 1.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{3 x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

خطوة 1.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

خطوة 1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.6.2

اقسِم $3 x + 5$ على $1$ .

$3 x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 3)$ على $1$ .

$3 x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.7.3

انقُل $3$ إلى يسار $A$ .

$3 x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.1.7.4.2

اقسِم $(B) (x - 1)$ على $1$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

خطوة 1.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

خطوة 1.1.7.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

خطوة 1.1.7.7

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$3 x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

خطوة 1.1.8

انقُل $3 A$ .

$3 x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$3 = A + B$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$5 = 3 A - 1 B$

خطوة 1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$3 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $3 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$5 = 3 A - 1 B$

خطوة 1.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 3 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $3 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $5 = 3 A - 1 B$ بـ $3 - B$ .

$5 = 3 (3 - B) - 1 B$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط $3 (3 - B) - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 = 3 \cdot 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.1.2

اضرب $3$ في $3$ .

$5 = 9 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$5 = 9 - 3 B - 1 B$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.1.4

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 3 B - B$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- 3 B$ .

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

$5 = 9 - 4 B$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $5 = 9 - 4 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $9 - 4 B = 5$ .

$9 - 4 B = 5$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$- 4 B = 5 - 9$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3.2.2

اطرح $9$ من $5$ .

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

$- 4 B = - 4$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3.3

اقسِم كل حد في $- 4 B = - 4$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 4 B = - 4$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 4}{- 4}$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.3.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 4$ .

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

$B = 1$

$A = 3 - B$

خطوة 1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 3 - B$ بـ $1$ .

$A = 3 - (1)$

$B = 1$

خطوة 1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

بسّط $3 - (1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A = 3 - 1$

$B = 1$

خطوة 1.3.4.2.1.2

اطرح $1$ من $3$ .

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$A = 2$

$B = 1$

خطوة 1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = 2, B = 1$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}$

خطوة 1.5

احذِف الصفر من العبارة.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{3}^{5} \frac{2}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{3}^{5} \frac{1}{x - 1} d x + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = x - 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

خطوة 4.3

اطرح $1$ من $3$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = x - 1$ .

$u_{upper} = 5 - 1$

خطوة 4.5

اطرح $1$ من $5$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 4$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{3}^{5} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = x + 3$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 6.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = x + 3$ .

$u_{lower} = 3 + 3$

خطوة 6.3

أضف $3$ و $3$ .

$u_{lower} = 6$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = x + 3$ .

$u_{upper} = 5 + 3$

خطوة 6.5

أضف $5$ و $3$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \int_{6}^{8} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{2}^{4}) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\ln (| u_{1} |)$ في $4$ وفي $2$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + \ln (| u_{2} |)]_{6}^{8}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\ln (| u_{2} |)$ في $8$ وفي $6$ .

$2 ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 2 |)) + (\ln (| 8 |)) - \ln (| 6 |)$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 2 |)) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (| 8 |) - \ln (| 6 |)$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 4 |}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$2 \ln (\frac{4}{| 2 |}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

خطوة 10.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$2 \ln (\frac{4}{2}) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

خطوة 10.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{| 8 |}{| 6 |})$

خطوة 10.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $8$ تساوي $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{| 6 |})$

خطوة 10.5

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $6$ تساوي $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{8}{6})$

خطوة 10.6

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 (4)}{6})$

خطوة 10.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

خطوة 10.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3})$

خطوة 10.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 \ln (2) + \ln (\frac{4}{3})$

الصيغة العشرية:

$1.67397643 \dots$

خطوة 12