حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sin^{2} (t) d t$

خطوة 6

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 11

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 11.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 12

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 14

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{1}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 16.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اجمع $\sin (2 \arcsin (x))$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

خطوة 17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

خطوة 17.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

خطوة 17.4

اضرب $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 17.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

خطوة 18

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$