حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} \frac{x - 2}{x^{2} - 4 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 4 x$ . إذن $d u = (2 x - 4) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$2 x - 4$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 4 \cdot 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u_{lower} = 1 - 4$

خطوة 1.3.2

اطرح $4$ من $1$ .

$u_{lower} = - 3$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 4 x$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 4 \cdot 3$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 9 - 4 \cdot 3$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$u_{upper} = 9 - 12$

خطوة 1.5.2

اطرح $12$ من $9$ .

$u_{upper} = - 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{- 3} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{- 3}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $- 3$ وفي $- 3$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| - 3 |)) - \ln (| - 3 |))$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $\ln (| - 3 |)$ من $\ln (| - 3 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 5.2.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$0$

خطوة 6