حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب

$t$ من

$\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن

$u = π x$ . إذن

$d u = π d x$ ، لذا

$\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام

$u$ و

$d$

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن

$u = π x$ . أوجِد

$\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة

$π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 2.1.2

بما أن

$π$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$π x$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب

$π$ في

$1$ .

$π$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن

$x$ في

$u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

خطوة 2.3

اضرب

$π$ في

$1$ .

$u_{lower} = π$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن

$x$ في

$u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ

$u_{lower}$ و

$u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام

$u$ و

$d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

خطوة 3

اضرب

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ في

$\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

خطوة 4

بما أن

$\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{u}$ في صورة

$u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5.2

انقُل

$u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة

$- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.3.2

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

خطوة 7

اجمع

$\frac{1}{π}$ و

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

خطوة 8

احسِب قيمة

$2 u^{\frac{1}{2}}$ في

$π t$ وفي

$π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب

$t$ من

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

خطوة 9.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب

$t$ من

$\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

خطوة 9.2

بما أن الدالة

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ تقترب من

$\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب

$2$ في الدالة يقترب أيضًا من

$\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت

$2$ المحذوف.

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة

${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة

$\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

خطوة 9.2.3

عند اقتراب

$t$ من

$\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى

$\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

خطوة 9.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احسِب قيمة حد

$2 π^{\frac{1}{2}}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

$t$ من

$\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

خطوة 9.3.2

احسِب قيمة حد

$π$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

$t$ من

$\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

خطوة 9.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{π}$

خطوة 9.3.3.2

ناتج قسمة ما لا نهاية على أي قيمة منتهية وغير صفرية يساوي ما لا نهاية.

$\infty$