حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

خطوة 1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

خطوة 1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

خطوة 2

تكامل $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

خطوة 3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{3})$ هي $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

خطوة 3.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

خطوة 3.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

خطوة 3.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

خطوة 3.2.5

أضف $1$ و $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 3.2.6

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ تساوي تقريبًا $3.7320508$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

خطوة 3.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

خطوة 3.3.3

اقسِم $2 + \sqrt{3}$ على $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

الصيغة العشرية:

$1.31695789 \dots$