حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{9}$ و $g (x) = \sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = \sin (x^{3} + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{3} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $x^{3} + 7$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\cos (u_{3})$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $x^{3} + 7$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]))$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]))$

خطوة 4.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0))$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2}))$

خطوة 4.4.2

اضرب $3$ في $5$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2})$

خطوة 4.4.3

أعِد ترتيب عوامل $15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

خطوة 5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب الأُسس في ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

خطوة 5.1.2

اضرب $5$ في $8$ .

$9 \sin^{40} (x^{3} + 7) (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

خطوة 5.2

اضرب $15$ في $9$ .

$135 \sin^{40} (x^{3} + 7) (x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$135 (x^{2} {\sin (x^{3} + 7)}^{40 + 4} \cos (x^{3} + 7))$

خطوة 5.4

أضف $40$ و $4$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$