حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \sin (\frac{x}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.6

اجمع $\cos (\frac{x}{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.2.7

اجمع $3$ و $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ و $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

خطوة 2.3.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ على $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 5.1.2.1.2

اقسِم $\cos (\frac{x}{2})$ على $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

خطوة 5.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 5.4

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x = π$

خطوة 5.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.6.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

خطوة 5.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

بسّط $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.6.2.2.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

خطوة 5.6.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.6.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.6.2.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

خطوة 5.6.2.2.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$x = 4 π - π$

خطوة 5.6.2.2.1.6

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = 3 π$

خطوة 5.7

حل المعادلة $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

خطوة 6

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{3}{4}$

خطوة 8

$x = π$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = π$ هي حد أقصى محلي

خطوة 9

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $π$ في العبارة.

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

خطوة 9.2.2

أضف $3$ و $4$ .

$f (π) = 7$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $7$ .

$y = 7$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 3 π$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

خطوة 11.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

خطوة 11.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

خطوة 11.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

خطوة 11.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{3}{4}$

خطوة 11.3

اضرب $- - \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

خطوة 11.3.2

اضرب $\frac{3}{4}$ في $1$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 12

$x = 3 π$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 3 π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 13

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3 π$ في العبارة.

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

خطوة 13.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

خطوة 13.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

خطوة 13.2.1.3

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

خطوة 13.2.1.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

خطوة 13.2.2

أضف $- 3$ و $4$ .

$f (3 π) = 1$

خطوة 13.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$y = 1$

خطوة 14

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ هي نقطة قصوى محلية

$(3 π, 1)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 15