حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + 2 x^{2}$ . إذن $d u = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$0 + 4 x$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $4 x$ .

$4 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

خطوة 1.5.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

خطوة 1.5.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $8$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 6.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.10

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.11

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.2.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

خطوة 6.2.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

خطوة 6.2.13.2

اطرح $2$ من $54$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

خطوة 6.2.14

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

خطوة 6.2.15

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{52}{12}$

خطوة 6.2.16

احذِف العامل المشترك لـ $52$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.1

أخرِج العامل $4$ من $52$ .

$\frac{4 (13)}{12}$

خطوة 6.2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

خطوة 6.2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

خطوة 6.2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{13}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{13}{3}$

الصيغة العشرية:

$4.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$4 \frac{1}{3}$

خطوة 8