حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3} - 3 x + 1$ . إذن $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3} - 3 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3 x^{2} - 3$ و $0$ .

$3 x^{2} - 3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $6$ من $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

خطوة 1.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $3$ وفي $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

خطوة 5.2

بسّط.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

الصيغة العشرية:

$5.78908503 \dots$

خطوة 8