حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} e^{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $x^{3} e^{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{u}{2}$ و $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

خطوة 11.2

اضرب $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

خطوة 11.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

خطوة 11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$