حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3} + 1}{x + 2} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{3} + 1$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

خطوة 1.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

خطوة 1.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$

خطوة 1.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							+	$4 x$	+	$8$

خطوة 1.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$

خطوة 1.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$7$

خطوة 1.16

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x^{2} - 2 x + 4 - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 \int x d x + \int 4 d x + \int - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - \int \frac{7}{x + 2} d x$

خطوة 9

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - (7 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 10

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 7 \int \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 11.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 11.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 7 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 7 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 7 \ln (| u |) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 7 \ln (| x + 2 |) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 7 \ln (| x + 2 |) + C$