حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $9 \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

خطوة 1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

خطوة 1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

خطوة 1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

خطوة 1.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

خطوة 2.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$3 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$3 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

خطوة 2.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

خطوة 3.2

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

خطوة 3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

خطوة 5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

خطوة 5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 3 \cdot 1$

خطوة 5.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3$