حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ من ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.3.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.4

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.5.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.6

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.7

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

خطوة 2.2.8

بسّط.

$r = \frac{1}{3}$

خطوة 3

بما أن $| r | < 1$ ، إذن السلسلة متقاربة.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

خطوة 4.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $- \frac{4}{3}$ في $1$ .

$a = - \frac{4}{3}$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

خطوة 6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

خطوة 6.2.3

اطرح $1$ من $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

خطوة 6.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 6.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 6.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

خطوة 6.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

خطوة 6.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

خطوة 6.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2$